초급 #01 기하학 기초 2 : 입체형상과 입체도형의 관계

_Image|kage@clS702/btsNpNewllY/LHRXQhrn80PkHpbpvOosK1/img.png|CDM|1.3|{"originWidth":483,"originHeight":386,"style":"alignCenter","filename":"148썸네일 사본 152.png"}_##]

기하공차를 이해하기 위해 서피스를 이해할 필요가 있다. 서피스는 단순히 부품의 "겉면"이 아니라, 기하공차가 적용되는 "대상"이다. 기하공차는 이 서피스를 통제하고, 평가한다. 도면을 올바르게 해석하고, 기하공차를 올바르게 적용하기 위해서는 서피스의 특징을 이해하고 분류할 수 있어야 한다. 이 글에서는 서피스는 어떻게 나뉘는지, 입체도형은 어떤 서피스로 구성되는지, 서피스에 따라 어떤 공차를 적용할 수 있는지를 설명한다.

---

입체형상과 입체도형의 구분

모든 부품은 입체형상이며, 입체형상은 하나 이상의 서피스로 구성된다. 입체형상과 유사한 개념으로 '입체도형'이라는 용어가 있다. 입체형상은 실제 존재하거나 CAD로 모델링된 구체적인 형상을 의미하는 반면, 입체도형은 수학적, 기하학적으로 정의된 정형적인 형상이다.

 

입체형상은 현실 세계의 물체 외형이나 CAD에 표현되는 3D 형상을 말한다. 반드시 기하학적으로 정형화된 도형일 필요는 없으며, 자동차 외관, 사람의 얼굴, 자유곡면, 기계부품 등 비정형 형상도 가능하다. 핸드폰 형상이나 각종 부품 모델 등이 예가 된다. 입체형상은 CAD 모델링, 기계설계, 제품 디자인 등 실무 영역에서 주로 활용되며, 개념보다는 형태와 실용적 목적으로 사용된다. 이며, GD&T에서 실제로 공차가 적용되는 대상이기도 하다.

 

반면, 입체도형은 이론적으로 정의된 추상적 개념으로, 엄격한 수학적 규칙과 도형 이론이 적용된다. 부피나 표면적을 이론적으로 계산할 수 있으며, 면, 변, 꼭짓점을 구성요소 한다. 정육면체, 구, 원기둥 각뿔 등이 예가 된다. 주로 교육 목적이나 이론 설명에 사용되며, GD&T의 이론적 기반이 된다.

 

예를 들어, 원기둥은 입체도형의 대표적인 예다. 하지만 전봇대처럼 겉보기에는 원기둥처럼 보여도, 실제로는 이상적인 원기둥 형상을 완전히 따르지 않기 때문에 입체도형이 아니라 입체형상이다.

구분	성격	특징	활용분야	GD&T에서의 위치
입체형상	실제	실제 존재하거나 모델링된 구체적 형태의 형상	CAD, 설계, 제조	적용 대상
입체도형	이론	수학적, 기하학적으로 정의된 개념적 형태의 형상	수학, 기하학	이론적 기반

 

입체형상과 입체도형을 구분하려는 이유는 GD&T가 실제 존재하는 부품에 구체적으로 적용되는 반면, 공차영역이나 DRF와 같은 개념은 이론적으로 정의되기 때문이다. 따라서 입체를 다루는 방법은 이론적 방법과 실제적 방법으로 나뉘며, 이 두 관점을 이해하는 것이 중요하다. GD&T에서 입체형상은 공차가 부여되는 실체이며, 입체도형은 그 공차 체계를 뒷받침하는 이론적 기반이다.

서피스와 면

입체형상은 서피스를 경계로 하여 안과 밖이 구분된다. 서피스는 형상의 표면 그 자체를 의미하며, 두께 없이 외형만 존재하는 일종의 "껍데기"와 같다. 이 서피스들이 모여 닫힌 공간을 이루면, 비로소 입체형상이 된다. 서피스가 하나로 닫힌 공간을 형성하면 입체형상이 된다. 대표적인 예로는 계란 껍데기가 있다. 계란 껍데기는 하나의 연속된 곡면이 내부를 감싸며, 안과 밖을 명확히 나누는 입체형상의 예이다.

 

입체형상과 입체도형 모두 3차원 개념이지만, 이들의 경계를 이루는 요소는 다르다. 입체형상에서는 ‘서피스’가 경계 역할을 하고, 입체도형에서는 ‘면’이 그 역할을 한다. 반면, 서피스와 면은 모두 2차원 요소이다. 그 이유는 이 둘 모두 두께가 없기 때문이다.

 

서피스는 실제 형상을 이루는 요소로서, 부품이나 3D 모델의 외형을 구성하는 실체적인 곡면 또는 평면이다. 자유곡면이나 불규칙한 형상도 포함될 수 있으며, CAD 모델링과 설계, 제품 형상 표현에 사용된다. 또한, GD&T에서 공차가 실제로 적용되는 대상이기도 하다. 예로는 스마트폰 외관, 자동차 차체의 곡면, 항공기 날개의 외형면 등이 있다.

 

반면, 면은 수학적·기하학적으로 정의되는 이론적 개념으로, 이상적이고 정형적인 평면이나 곡면을 뜻한다. 완전한 평면이나 수학적으로 정의된 곡면이 이에 해당하며, 무한평면(예: xy 평면)도 개념적으로 포함된다. 면은 입체도형을 구성하는 기본 단위로, 예를 들어 정육면체는 6개의 정사각형 면으로 이루어져 있다.

성격	3차원	2차원
실제	입체형상	입체형상의 경계 = 서피스
이론	입체도형	입체도형의 경계 = 면

---

입체도형의 이해

면이 모여 닫힌 공간을 이루면 입체도형이 된다. 입체도형과 구별되는 개념으로 평면도형이 있으며, 평면도형은 2차원 공간에 존재하는 도형이고, 입체도형은 3차원 공간에 존재하는 도형이다. 입체도형을 이해하려면, 이를 구성하는 면의 개념과, 입체도형과 구분되는 평면도형의 특성도 함께 살펴보아야 한다. 입체도형은 GD&T에서 다루는 실제 부품의 이론적 기반이 되므로,  입체도형에 대한 이해는 GD&T의 기초 개념을 이해하는 데 도움이 된다. 또한 실제 부품의 입체 형상에 따라 적용할 수 있는 기하공차가 달라지는 이유를 이해할 수 있게 된다.

1) 면(Face)

면은 평면과 곡면으로 나눌 수 있으며, 회전여부에 따라 회전 평면, 회전 곡면으로 더 세분화할 수 있다. 아래 표는 면이 어떻게 분류되는지 그리고 각 유형이 가지는 특징을 정리한 것이다.

면의 유형		특징	종류	사용예
평면	평면	완전한 평면	평면, 평행평면	슬롯면, 바닥면, 플랜지면, 기준면 등
	회전 평면	중심축이 있는 평면	원형평면	샤프트의 윗면이나 바닥면 등
곡면	회전 곡면	중심축이 있는 곡면	구면, 원통면, 원뿔면	핀, 홀, 샤프트의 직경면 등
	비회전 곡면	중심축이 없는 곡면	자유곡면	자동차 외장 패널, 항공기 날개 등

2) 평면도형과 입체도형의 구분

평면도형은 2차원 공간에 존재하는 도형이다. 대표적인 평면도형으로는 삼각형, 사각형, 원이 있다. 

 

도형은 차원에 따라 다음 표와 같은 특성을 가진다.

 

차원	대표도형	정의	주요속성	면적	부피
0차원	점	위치만 있고, 크기나 방향이 없음.	위치만	X	X
1차원	선	점이 연속으로 움직여 만든 궤적. 방향이 있음.	길이만	X	X
2차원	면	선이 연속으로 움직여 만든 궤적. 면적이 있음.	길이+너비	O	X
3차원	입체	면이 연속으로 움직여 만든 궤적. 부피가 있음.	길이+너비+두께	O	O

 

원통은 평면(2차원 공간)에 존재할 수 없다. 따라서 평면도형이 아닌 입체도형이다. 평면도형과 입체도형은 도형의 차원이 아니라 도형이 정의된 공간의 차원에 따라 구분된다. 평면(2차원 공간)에 존재하는 도형이 평면도형이고, 입체(3차원 공간)에 존재하는 도형이 입체도형이다.

 

구분	정의	특징	예
평면도형	두께가 없고 길이나 너비만 가진 도형	둘레의 길이나 넓이를 구할 수 있다.	점, 직선, 곡선, 삼각형, 사각형, 원
입체도형	길이, 너비, 두께가 있는 도형	둘레의 길이나 너비, 부피를 구할 수 있다.	원기둥, 원뿔, 각기둥, 각뿔, 다면체

 

입체도형은 점, 선, 면으로 이루어진 평면도형이 모여서 생긴 도형이다. 따라서 아주 얇은 종이도 실제로는 아주 적더라도 두께가 있기 때문에 입체도형이다. 우리는 3차원 공간에서 살기 때문에 주변에 평면도형은 존재하지 않고, 입체도형만 존재한다. 평면도형은 개념적으로 알 수 있을 뿐이다.

3) 입체도형

입체도형은 3차원 공간에 존재하고 부피가 있는 도형이다. 입체도형은 면으로 구성된다. 대표적인 입체도형은 아래표와 같고, 각각은 고유한 면의 개수와 면의 형태가 있다.

 

입체도형	면의 개수	면의 형태		예시
		평면	곡면
정육면체 (Cube)	6	6		금속 블록, 측정기준면
원기둥 (Cylinder)	3	2	1	샤프트, 핀, 관
구 (Sphere)	1		1	베어링 볼
원뿔 (Cone)	2	1	1	센터드릴
각뿔 (Pyramid)	n+1	측면 n개  + 밑면 1개		정렬핀, 방향핀
각기둥 (Prism)	n+2	측면 n개  + 밑면 2개		기계 케이스 일부
자유형상 (Freeform)	다수	자유곡면		자동차 외장 패널

다면체

여러 개의 다각형으로 둘러쌓여 있는 입체도형을 다면체라고 하고, 그 수에 따라 사면체, 오면체, 육면체라고 한다. 다면체는 각기둥, 각뿔, 각뿔대 등이 있다.

 

각기둥은 밑면이 다각형이고, 옆면은 모두 사각형인 입체도형이다.

 

각뿔은 밑면이 다각형이고, 옆면은 모두 삼각형인 입체도형이다.

회전체

 

회전체는 평면도형을 회전축에 대해 회전하여 얻어지는 입체도형이다.

---

면의 유형에 따라 적용할 수 있는 기하공차 종류

면의 유형에 따라 적용할 수 있는 기하공차 종류가 달라진다. 면의 유형과 각각의 기하공차의 특성을 이해하면 왜 특정 면의 유형에 특정 공차를 적용해야 하는지 이해할 수 있다. 예를 들면, 진직공차는 직선에 가까운 정도를 통제한다. 따라서 직선성분이 있는 면만을 통제할 수 있다. 진원공차는 원에 가까운 정도를 통제한다. 따라서 원성분을 가지는 면만을 통제할 수 있다. 흔들림공차는 공차영역이 중심축을 기준으로 생성된다. 따라서 중심축이 있는, 즉 회전 특성이 있는 면을 통제할 수 있다. 윤곽공차는 윤곽을 기준으로 통제한다. 윤곽은 어떤 모양이든 될 수 있기 때문에 모든 유형의 면을 통제할 수 있는 것이다.

 

기하공차 분류	기하공차 종류	평면	회전 평면	회전곡면	비회전 곡면
모양공차	진직공차	❍		❍
	평면공차	❍
	진원공차		❍	❍
	진통공차		❍	❍
자세공차	경사공차	❍		❍
	수직공차	❍		❍
	평행공차	❍		❍
위치공차	위치공차	❍		❍
흔들림공차	원주흔들림공차		❍	❍
	전체흔들림공차		❍	❍
윤곽공차	선윤곽공차	❍	❍	❍	❍
	면윤곽공차	❍	❍	❍	❍

 

위의 표는 개략적인 이해를 위해 작성한 것이다. 이후 다른 글에서 자세히 살펴보기로 하자. 엄밀히 따지면 비회전 곡면은 직선성분을 가질 수도 원성분을 가질 수도 있다. 하지만 세부적인 내용은 개략적인 이해를 한 후에 엄밀하게 따져보는 것이 좋다.

입체형상과 입체도형의 관계

입체형상은 현실에서 물리적으로 존재하거나, CAD 프로그램 안에서 가상적으로 모델링된 실제적인 형상이다. 반면에 입체도형은 머릿속에서만 존재하는 개념적인 형상이다. 기하공차는 실제 형상인 입체형상에 적용되지만, 공차영역이나 기준 설정(DRF)이 정의되는 방식은 개념적인 입체도형을 기반으로 한다. 입체형상과 입체도형을 구분하여 설명하는 이유는, 우리가 이 둘을 일상적으로 혼용하더라도, 실제적인 것과 개념적인 것 사이에는 명확한 차이가 있기 때문이다. 개념적인 입체도형의 이해는, 비록 현실의 형상이 그와 완전히 같지 않더라도 기하공차가 적용되는 원리를 보다 명확히 이해하는 데 도움이 된다.

 

같이 보면 좋을 글

기하학 기초 1 : 도형과 공간